Схемы нагрузок показаны на рис. 9.
Расчет арки производим для следующих сочетаний нагрузок 1) постоянной и снеговой, равномерно распределенной по всему пролету; 2) постоянной по всему пролету и снеговой, равномерно распределенной на половине пролета, 3) постоянной по всему пролету и снеговой, распределенной по треугольнику на половине пролета (СНиП 2.01.07-85, п. 5.3).
Определяем усилия в арке при разных схемах нагружения от нагрузки 10 кН/м:
а) от равномерно распределенной нагрузки по всему пролету:
вертикальные опорные реакции
V А = V В = q·L/2 = 10·60/2 = 300 кН
;
горизонтальный распор
H = q·L 2 /(8f) = 10·60 2 /(8×11) = 410 кН
;
Рис. 9. Схема нагрузок от собственного веса и снега, действующих на арку
б) от равномерно распределенной нагрузки на полупролете (слева):
вертикальные опорные реакции:
V А = 10·L/8 = 3×60/8 = 75 кН
;
V В = 10·L/8 = 60/8 = 75 кН
;
горизонтальный распор
H = q·L 2 /(16f) = 10·60 2 /(16×11) = 205 кН
;
в) от распределенной по треугольнику нагрузки наполовине пролета (слева):
вертикальные опорные реакции
V А = 5·q·L/24 = 5×10·60/24 = 125 кН
;
V В = q·L/24 = 10·60/24 = 25 кН
;
горизонтальный распор
H = q·L 2 /(48f) = 10·60 2 /(48×11) = 68,2 кН
.
Значения M x
, Q x
и N x
для загружения (п. а
) и на участке 0 ≤ x
≤ L
/2 (п. б
) вычислены по формулам:
M x = V А ×x – x 2 /2 – H×y
;
Q x = -Hsin φ + (V А – x)cos φ;
N x = Hcos φ + (V А – x)sin φ.
На участке L/2 ≤ x ≤ L
– по формулам:
M x = V В (L – x) – Hy
;
Q x = Hsin φ – V В cos φ;
N x = -Hcos φ – V В sin φ.
Для загружения (по п. в
) вычисления проводились по формулам
на участке 0 ≤ x ≤ L/2
:
M x = V А – Hy;
Q x = V А cos φ – Hsin φ;
N x = Hcos φ + V А sin φ;
на участке L/2 ≤ x ≤ L
:
M x = V В (L – x) – Hy;
Q x = Hsin φ – V В cos φ;
N x = -H cos φ – V В sin φ.
На рис. 10 даны эпюры изгибающих моментов от нагрузок по пп. а
, б
, в
и от сочетания нагрузок по схемам 1, 2 и 3. На рис. 11 даны эпюры нормальных и поперечных сил от сочетания нагрузок по схемам 1, 2 и 3. Вертикальные опорные реакции V А
и V В
и распор H
для различных схем загружения соответственно равны 384, 384, 523 кН (схема 1); 341, 254, 406 кН (схема 2) и 433, 255, 408 кН (схема 3).
Как видно из эпюр, расчетной является схема загружения 3 как по положительным, так и по отрицательным моментам. Максимальный положительный момент имеется в сечениях с абсциссой x
= 10 м, а отрицательный – с абсциссой x
= 50 м.
Расчетные усилия
M 10 = 343 кН×м; N 10 = -461 кН; M 50 = -477 кН×м; M 50 = -449 кН.
Рис. 10. Эпюры изгибающих моментов в арке от расчетных нагрузок и от их сочетания
а) постоянной (собственный вес арки); б) снеговой, равномерно распределенной по всему пролету; в) снеговой, равномерно распределенной на половине пролета; г) снеговой, распределенной по треугольнику на половине пролета; 1 – постоянной (а) и снеговой (б); 2 – постоянной (а) и снеговой (в); 3 – постоянной (а) и снеговой (г)
Рис. 11. Эпюры нормальных (N) и поперечных (Q) сил в арке от сочетания расчетных нагрузок
1 – постоянной (а) и снеговой (б); 2 – постоянной (а) и снеговой (в); 3 – постоянной (а) и снеговой (г)
АРОЧНЫЕ КОНСТРУКЦИИ
Происхождение, история, физические свойства и виды арок.
Арка – одна из древнейших архитектурных форм, на заре цивилизации она не была просто перекрытием, она несла в себе ритуально-символический смысл. Слово «арка» происходит от латинского «arcus» – дуга, но существует версия, что слово происходит от ивритского «арука», что означает «длинная, тянущаяся». С развитием каменного зодчества, арки приобрели повсеместный характер и стали частью многих типов сооружений. Сегодня арка является популярным декоративным элементом, подчеркивающим изящность и одновременно монументальность объекта, наряду с этим они заняли нишу в промышленном строительстве и стали неотъемлемым элементом многих хозяйственных построек.
Так как же появился столь прекрасный и незаменимый элемент? Откуда человек смог его почерпнуть? Какие схожие конструкции присутствуют в архитектуре и природе? Как развивалась и трансформировалась арка в ходе истории, и какие приобретала значения для человечества? Люди часто забывают о значимости обыденных вещей и редко задумываются о происхождении, на первый взгляд привычного и естественного. Потому-то и стоит периодически освещать простые, знакомые каждому и давно забытые как проблема, вещи и явления.
Изучение арок, как основного элемента храмовой и соборной архитектуры, а так же, и как отдельно стоящего произведения монументальной архитектуры – триумфальной арки, занимает в истории искусств огромное место. Применение арок как пролетов или несущих конструкций имело повсеместный характер уже в начале нашей эры, а оформление арочной конструкцией входа и окон – с 10 по 15 века являлось каноническим и предопределяло становление архитектурных стилей. Возможность распределять нагрузку всего здания на одни лишь арки сыграла роль в становлении и развитии искусства постройки готических соборов, и способствовала появлению в них витража. Особое место арочный пролет занимает в мостострое, ведь именно благодаря этому элементу было создано огромное количество переправ. Сейчас же при помощи арочного принципа можно с легкостью создать покрытия промышленных, сельскохозяйственных и общественных зданий пролетом от 12 до 100м. Это могут быть ангары и складские помещения, спортивные и торговые комплексы, различные кровельные системы. Виды и формы арок, их назначение, а так же сооружение, в которых они применяются, достигли необыкновенного разнообразия и, скорее всего, пришли к кульминационному моменту развития, продолжая свой длинный исторический путь.
Происхождение и природа арок
Как же человек пришел к такой несокрушимой и долговечной конструкции, которую легко соорудить из природных материалов, создав прочную опору для всего сооружения?
Скорее всего, люди заметили эту форму в природе, окружающей человека испокон веков. Арки были всегда на виду у человека – это и вход в пещеру, и грот, и склоненные друг к другу деревья, и радуга, и полукруг заходящего солнца. В мире встречаются необычные и причудливые природные арки. Они разбросаны по свету и присутствуют на каждом материке. Эти гигантские естественные шедевры вырезаны из твердых скал, под влиянием воды, ветра и солнца.
Некоторые из них возвышаются на десятки метров над землей, в то время как другие едва сформированы и почти незаметны, но в любом случае их объединяет одно – все эти красивые естественные формирования обладают уникальной формой арки. Примеров таких явлений бесконечное множество, так что придется привести лишь наиболее монументальные и известные арки. Это Лондонская арка на побережье южной Австралии , гора Слоновий хобот, расположенная на побережье реки в южном Китае , утес Персе в Квебеке в восточной Канаде , Дердл-Дор – выступ на северном побережье Великобритании , Лазурное Око на западном побережье мальтийских островов . Радужный мост и Изящная арка находятся в США в штате Юта, где располагается целый национальный парк арок. В парке находится более 2000 природных арок из песчаника, а так же множество других ландшафтных образований. Он имеет площадь 309 кв. км и находится неподалеку от города Моаб. А самой большой на данный момент считается арка, расположенная в Китае, – мост Фей, пролет которой около 120 метров. Подобные, сформированные природой, арки можно встретить и в России : гора Кольцо в окрестностях Кисловодска, грот Дианы в мысе Лермонтова, Арка Стеллера на дальневосточном побережье, скала Золотые ворота близ массива Кара-Даг и др.
У людей первобытного мира арка принимала участие в ритуалах и, скорее, служила символом, в который вложен особый смысл, ведь через нее можно пройти. Например, у некоторых племен центральной Африки существует обряд, согласно которому, что бы мальчик стал мужчиной, он должен на несколько дней отправиться в лес и выжить там. Племя строит из веток арку на окраине леса, юноши, которые должны доказать, что уже готовы повзрослеть, уходят через арку в чащу, а оставшееся в деревне племя, начинает их оплакивать. Когда же те вернуться, то считаются уже зрелыми и готовыми к жизни мужчинами. Так же, пигмеи верят в существование бога радуги и, когда она, наконец, появляется, они, выражая желание общаться с ним, берут лук и стреляют в радугу. У римлян, где богом ворот и дверей был двуликий Янус , проход через ворота, по сторонам которых находились алтари Януса и Юноны , символизировал переход из одного возраста в другой. Значение ворот в религии Древнего Рима не ограничивалось обрядом юношеской инициации, но также было своеобразным способом очищения от зла. Арка была символом небосвода, у греков она обозначала Зевса, у римлян – Юпитера , а 35 арок символизировали дорогу жизни. Арки участвовали и в ритуале чествования и освящения победы. Триумфальные арки в конце концов наводнили всю Италию. Они были символом, увековечивающим победы. Однопролетные, глубокие, массивные арки на Руси были городскими воротами, защищающими от врагов, но в мирное время служили точкой отправления ритуальных шествий, так например, у главных ворот встречали масленицу и поедали блины. Дуга была и обтекаемым, динамичным элементом, присутствуя в конской упряжке. Важным является присутствие арки в обряде кумования на троицу. По обычаю, нужно сплести верхушки двух молодых, стоящих рядом берез, и, пройдя через получившуюся арку, обняться и поцеловаться – покумоваться. После этого девушки становились неразлучными подругами, и их не должны были посещать ссоры. Таким образом, арка, как символ, элемент быта, инструмент обрядов присутствует у различных народов и цивилизаций и играет важную роль в их жизни и культуре.
Производим в
следующем порядке. Определяем действующие
на арку расчетные нагрузки. Затем
вычисляют опорные реакции – вертикальную
R и горизонтальную H – и действующие в
сечениях арки усилия – изгибающие
моменты М, продольные N и поперечные Q
силы. Затем подбирают сечения арки –
ее верхнего и нижнего поясов и проверяют
действующие в них нормальные
и скалывающие
напряжения, которые не должны превышать
расчетных сопротивлений древесины
при сжатии R c ,
растяжении R р,
скалывании
и расчетного сопротивления стали R. В
заключение рассчитывают узловые
соединения.
Распределенные
нагрузки определяются с учетом шага
расстановки арок B. Они являются
линейными и их удобно вычислять в кН/м,
сосредоточенные нагрузки – в кН.
Постоянная нагрузка
g условно, в небольшой запас прочности,
считается равномерно распределенной
по длине пролета арки, для чего ее
фактическое значение увеличивается на
отношение длины арки к ее пролету, т. е.
2S/l. Снеговая нагрузка S на треугольные
и стрельчатые арки дается в нормах
условно равномерно распределенной
по длине пролета арки, расположенной
на всем пролете или на полупролетах.
Снеговая нагрузка на сегментные арки
может быть равномерно распределенной
по всему пролету или его половинам и
зависит от отношения длины пролета к
его высоте – l/(8f). Эта нагрузка S 1
может быть также треугольной с
максимальными значениями над опорными
узлами и нулевыми в коньке в зависимости
от отношения высоты арки к пролету f/l.
Ветровая нагрузка
W дается нормами равномерно распределенной
по длине верхнего пояса арки. На пологие
треугольные и сегментальные арки она
действует в виде ветрового отсоса W и,
как правило, не учитывается в расчете,
так как она почти не увеличивает усилий,
действующих в сечениях этих арок. На
относительно высокие сегментные
треугольные и стрельчатые арки ветровая
нагрузка действует в виде давления W+
на подветренную сторону и отсоса W- на
заветренную, обычно близких по значению.
На стрельчатые арки ветровая нагрузка
может приниматься условно равномерно
распределенной по длине хорд полуарок.
При расчете этих арок ветровая нагрузка
обязательно учитывается, так как она
существенно увеличивает усилия в их
сечениях. Сосредоточенные нагрузки от
подвесного оборудования с грузами Р
принимаются в соответствии с данными
технологической части расчета.
Определение усилий
в сечениях арок производится с учетом
того, что трехшарнирные арки являются
статически определенными конструкциями.
Двухшарнирные арки однажды статически
не определимы. Однако расчет их как
трехшарнирных дает в большинстве случаев
результаты, достаточно близкие к расчету,
с учетом их статической неопределимости.
Опорные реакции
трехшарнирной арки без затяжки,
опирающиеся прямо на фундаменты,
имеют вертикальные и горизонтальные
составляющие. Вертикальная опорная
реакция арки R определяется из условия
равенства нулю изгибающего момента в
противоположном опорном шарнире.
Горизонтальная опорная реакция Н,
численно равная распору арки без затяжки,
определяется из условия равенства нулю
изгибающего момента в коньковом шарнире.
В арке с затяжкой горизонтальная опорная
реакция отсутствует. В такой арке
возникает продольная растягивающая
сила в затяжке, численно равная
горизонтальной опорной реакции арки
без затяжки. Например, при равномерной
снеговой нагрузке на левом полупролете
арки без затяжки вертикальная опорная
реакция левой опоры R = Зs1/8, а при этой
нагрузке на правом полупролете R = s1/8. В
обоих случаях горизонтальная опорная
реакция H = 5sl2/(16f).
При треугольной
снеговой нагрузке s 1
на левом полупролете арки с максимальным
значением на опоре вертикальная опорная
реакция левой опоры R = 5s 1 l/24.
При такой же нагрузке на правом полупролете
вертикальная опорная реакция левой
опоры R = sl/24. В обоих случаях горизонтальная
опорная реакция H = sl 2 /(48f).
Опорные реакции от двусторонней
равномерной нагрузки будут равны сумме
реакций от нагрузок на левом и правом
полупролетах, т. е. R=q1/2 и H= ql 2 /(8f).
Усилия в сечениях
арок – изгибающие моменты М, продольные
N и поперечные Q силы – определяются в
зависимости от нагрузок, координат
сечений x и у и углов наклона ,
касательных к оси в этих сечениях.
Например, при равномерной снеговой
нагрузке s на левом полупролете арки
М х,
Q x
и N х
определяются по формулам:
М х
= R х
– Ну – sх 2 /2;
N х
= (R – sх)sin
+ Нcos;
Q х
= (R – sx)соs
– Hsin.
При равномерной
снеговой нагрузке на правой полуарке
эти усилия определяются по тем же
формулам без членов, содержащих
нагрузку s. При треугольной нагрузке на
левом полупролете с максимальным
значением над опорой s 1
и промежуточными значениями s x =
(1 – 2x/l)s 1
усилия в верхнем поясе сегментной арки
определяются по формулам:
М х
= R х
– Ну – s 1 х 2 /2+sx 3 /(3l);
N х
= (R – s 1 х+
s 1 х 2 /l)sin
+ Нcos;
Q Х
= (R- s 1 x+
s 1 х 2 /l)соs
– Hsin.
При треугольной
снеговой нагрузке на правом полупролете
усилия в левой полуарке сегментной арки
определяют по этим же формулам без
членов, содержащих нагрузку s 1 .
Определение опорных
реакций и усилий в сечениях удобно
производить в одной, например, левой
полуарке в следующем порядке. Сначала
от снеговой равномерно распределенной
и треугольной нагрузки на левом и
затем на правом полупролете арки, затем
от ветровой нагрузки при ветре слева и
справа и далее от подвесного оборудования.
Изгибающие моменты
следует определять во всех сечениях
левой полуарки и иллюстрировать их
эпюрами моментов. Продольные и поперечные
силы можно определять только в опорном
и коньковом шарнирах сегментных арок,
где они достигают наибольших значений.
Усилия от двусторонней снеговой
равномерно распределенной нагрузки
определяются путем суммирования усилий
от снеговых нагрузок на левом и правом
полупролетах арки, а усилия от постоянной
равномерно распределенной нагрузки
определяются путем умножения усилий
от равномерно распределенной нагрузки
на всем пролете арки на отношение
постоянной и снеговой равномерно
распределенных нагрузок g/s. Полученные
значения сводятся в таблицу усилий в
сечениях арки. Затем с помощью этой
таблицы определяют максимальные
положительные и отрицательные изгибающие
моменты, продольные и поперечные
силы в сечениях арки и опорные реакции
при расчетных сочетаниях действующих
нагрузок. При этом усилия от двух и более
временных нагрузок уменьшаются
коэффициентом сочетаний k = 0,9.